Question

已知椭圆x平方/a平方+y平方/b平方=1（a>b>c)的左、右焦点分别为F1、F2，

已知椭圆x平方/a平方+y平方/b平方=1（a>b>c)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为根2/2，P是椭圆上一点，且三角形PF1F2面积的最大值等于2. （1）求椭圆的方程； （2）直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

1
因为SPF1F2最大值为bc=2
且
离心率
(c/a)^2=1/2
所以b/a=√(1-(c/a)^2)=1/√2
所以bc=(a/√2)(a/√2)=2
得到a^2=4,b^2=2,c^2=2
x^2/4+y^2/2=1
2
设
Q点
坐标为(x0,2)
那么过Q点且与椭圆
相切
的两条直线可以写作
L1:
y-2=k(x-x0)
L2:
y-2=(-1/k)(x-x0)
把L1与椭圆方程联立，得到
(1+2k^2)x^2-4k(kx0-2)x+2(kx0-2)^2-4=0
由于直线与椭圆相切，所以
Δ=0
整理后得到
（4-x0^2)k^2+4kx0-2=0
------
----------------------1
由于另一条直线业余椭圆相切，所以在1式中把k换成-1/k就能得到
2k^2+4kx0+x0^2-4=0---------------------------------2
1式和2式相减得到
（2-x0^2)(k^2+1)=0
所以x0=√2或者-√2
所以Q(√2,2)或者（-√2，2）

Answer 2

1.因为f1f2与短轴的一个顶点组成一个边长为2的等边三角形
所以c=1，且b=√3，所以a=2
所以椭圆方程：x^2/4+y^2/3=1
2.
联立直线与椭圆方程，消y得：x=,所以
a,b
坐标为（±√3，±√6/2）所以|ab|=√14