Question

二阶微分方程的通解公式是什么?

Answer 1

解：齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ-2λ-3=0，解得：

λ1=3，λ2=-1。

所以齐次方程得通解是：y=ae^(3x)+be^(-x)。

只需求其特解y*。

根据右边4e^x，可设y*=ke^x，代入左边得：ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。

解得k=-1。

特征根方程r^2+r-2=0r=2，-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)。

然后找特解待定系数，因为右端项为x^2猜测：

x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。

可降阶方程

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

y''=f(x)型

方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。