偏导数公式是什么?
偏导数基本公式：f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
若求f(x，y)的偏导函数，则先把x当做变量、把y当做常数，然后直接对x求导数即可。引入偏导函数是为了二元或多元函数的导数求解。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数是一个整体记号，不能看成一个微分的商。分母与分子是一个整体，不可以分开，与dy/dx不太一样。对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。
其实，偏导数中的，意义还是“无限小增量”；
u/x还是微商，跟dy/dx的微商是一样的意义。
u/x与du/dx区别在于
dx这一“无限小的增量”是由x的无限小的增量dx所导致；
du这一“无限小的增量”可能由dx导致，可能由dy导致，可能由dz导致，
也可能是它们的几个变量的微小增量共同导致，也可能是所有变量集体导致。
偏导数
在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。
偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
偏导数如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f’x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
y方向的偏导
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f’y(x0,y0)。
相关求法
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f’x(x0,y0) 与 f’y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数 f’x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f’y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f’x(x,y) 与 f’y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
注意
f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。
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2021-01-25 广告
偏导数公式是：
1、x方向的偏导
设有二元函数z=f(x,y)，点（x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的＇偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在（x0,y0)处对x的偏导数，记作f'x(x0,y0)或函数z=f(x,y)在（x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。
2、y方向的偏导
同样，把x固定在x0，让y有增量△y，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在（x0,y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
对于一个多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，其中每个 xₖ 都是一个自变量，其偏导数可以表示为∂f/∂xₖ。
常见的表示偏导数的公式有两种形式：
1. 利用偏微分符号 ∂ 来表示：
∂f/∂xₖ
2. 利用分数形式来表示：
df/dxₖ
这两种形式都表示同一个概念，即函数 f 对变量 xₖ 的偏导数。
需要注意的是，偏导数只关注函数在指定变量上的变化率，而将其他变量视为常数。其他变量的值在求偏导数时会被视为固定。
如果函数f(x₁, x₂, ..., xn)在点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)具有偏导数，则该偏导数可以通过对变量xᵢ进行求导得到，其中i表示变量的索引。
偏导数的计算公式如下：
∂f/∂xᵢ = lim(Δxᵢ0)[f(x₁₀, ..., xᵢ₀ + Δxᵢ, ..., xn₀) - f(x₁₀, ..., xᵢ₀)] / Δxᵢ
其中，∂f/∂xᵢ表示对变量xᵢ的偏导数，lim表示极限，Δxᵢ表示xᵢ的增量。
通过偏导数公式，我们可以求取多元函数在某一点的偏导数值。
1. z 对x的偏导数定义为:
∂z/∂x = limΔx→0 (f(x+Δx,y) - f(x,y))/Δx
2. z 对y的偏导数定义为:
∂z/∂y = limΔy→0 (f(x,y+Δy) - f(x,y))/Δy
3.偏导数有以下几个重要性质:
(1) ∂z/∂x 与y无关,∂z/∂y 与x无关
(2) 对称性:∂2z/∂x∂y = ∂2z/∂y∂x
(3) Schwarz等价:∂2z/∂x∂y = ∂2z/∂y∂x
(4) Laplacian算子:∇2z = ∂2z/∂x2 + ∂2z/∂y2 + ......
这些就是偏导数的一些基本公式和性质,是多元函数微积分的重要内容。掌握偏导数的计算和应用对理解多元函数的变化率非常重要。
