偏导数公式是什么?

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股己扼侨
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偏导数基本公式:f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

若求f(x,y)的偏导函数,则先把x当做变量、把y当做常数,然后直接对x求导数即可。引入偏导函数是为了二元或多元函数的导数求解。

在数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。


偏导数是一个整体记号,不能看成一个微分的商。分母与分子是一个整体,不可以分开,与dy/dx不太一样。对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

其实,偏导数中的,意义还是“无限小增量”;

u/x还是微商,跟dy/dx的微商是一样的意义。

u/x与du/dx区别在于

dx这一“无限小的增量”是由x的无限小的增量dx所导致;

du这一“无限小的增量”可能由dx导致,可能由dy导致,可能由dz导致,

也可能是它们的几个变量的微小增量共同导致,也可能是所有变量集体导致。

偏导数

在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时, f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

偏导数如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f’x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样,把 x 固定在 x0,让 y 有增量 △y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f’y(x0,y0)。


相关求法

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f’x(x0,y0) 与 f’y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义,将多元函数关于一个自变量求偏导数时,就将其余的自变量看成常数,此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

几何意义

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f’x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f’y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数:如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f’x(x,y) 与 f’y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy。

注意

f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对 x 求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导;后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时,求导的结果与先后次序无关。

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2021-11-16 · 生活丰富多彩,请热爱生活。
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偏导数公式是:

1、x方向的偏导

设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的'偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,记作f'x(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。

2、y方向的偏导

同样,把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

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课鸿G
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偏导数是多元函数在某一变量上的偏微分,用于衡量函数关于某个指定变量的变化率。

对于一个多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn),其中每个 xₖ 都是一个自变量,其偏导数可以表示为∂f/∂xₖ。

常见的表示偏导数的公式有两种形式:
1. 利用偏微分符号 ∂ 来表示:
∂f/∂xₖ

2. 利用分数形式来表示:
df/dxₖ

这两种形式都表示同一个概念,即函数 f 对变量 xₖ 的偏导数。

需要注意的是,偏导数只关注函数在指定变量上的变化率,而将其他变量视为常数。其他变量的值在求偏导数时会被视为固定。
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小达人芳芳老师
2023-07-29 · 超过121用户采纳过TA的回答
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偏导数是多元函数中对某个变量求导的概念。偏导数公式如下:
如果函数f(x₁, x₂, ..., xn)在点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)具有偏导数,则该偏导数可以通过对变量xᵢ进行求导得到,其中i表示变量的索引。
偏导数的计算公式如下:
∂f/∂xᵢ = lim(Δxᵢ0)[f(x₁₀, ..., xᵢ₀ + Δxᵢ, ..., xn₀) - f(x₁₀, ..., xᵢ₀)] / Δxᵢ
其中,∂f/∂xᵢ表示对变量xᵢ的偏导数,lim表示极限,Δxᵢ表示xᵢ的增量。
通过偏导数公式,我们可以求取多元函数在某一点的偏导数值。
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a迪迦解答
2023-07-19 · 贡献了超过101个回答
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偏导数表示函数对某个自变量的导数。设函数 z = f(x,y),则:
1. z 对x的偏导数定义为:
∂z/∂x = limΔx→0 (f(x+Δx,y) - f(x,y))/Δx
2. z 对y的偏导数定义为:
∂z/∂y = limΔy→0 (f(x,y+Δy) - f(x,y))/Δy
3.偏导数有以下几个重要性质:
(1) ∂z/∂x 与y无关,∂z/∂y 与x无关
(2) 对称性:∂2z/∂x∂y = ∂2z/∂y∂x
(3) Schwarz等价:∂2z/∂x∂y = ∂2z/∂y∂x
(4) Laplacian算子:∇2z = ∂2z/∂x2 + ∂2z/∂y2 + ......
这些就是偏导数的一些基本公式和性质,是多元函数微积分的重要内容。掌握偏导数的计算和应用对理解多元函数的变化率非常重要。
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