Question

反正弦和反余弦只差一个负号？也就是说如果一个答案是arcsin x，那么也可以是-arccosx？

反正弦和反余弦只差一个负号？也就是说如果一个答案是arcsin x，那么也可以是-arccosx？求一个不定积分，式子里包括根号下(1-x²)，我可以用cos t也可以用sin t代换，因为dx微分项也要代换，而最终求出来的结果要还原成原来的未知数x表示，所以出现了即可能是反正弦也可能是反余弦？是这样吗？数学帝来，高中以下就别回答了

Answer 1

看上去是的，但是你不要忘了求不定积分的时候后面要+C的。 想想也知道直角三角形两锐角加起来是90度。所以arcsinx+arccosx= π/2，而π/2是个常数。也就是说arcsinx=-arccosx+ π/2，只不过后面有+C就不用写π/2而已～

Answer 2

这题要用分部积分法，解出来是对称的，所以用cos t和sin t替换结果是一样的

排版问题，我用SS表示积分，sqrt表示根号。

设x=cos t
原式 = SS sqrt(1-x²)dx = SS sint dcost (1)

设x=sin t
原式 = SS sqrt(1-x²)dx = SS cost dsint (2)

对比(1) (2),得 SS sint dcost = SS cost dsint (3)

对(1)用分部积分法
SS sint dcost = sintcost - SS cost dsint (4)

把(3)代入(4),得
SS sint d cost=(1/2)sintcost (5)

把x=arccos t代入(5)，得
原式=(1/2) x sqrt(1-x²)

如果把x =arcsin t代入(5)，结果是一样的