Question

一道高数题 讨论函数f（x）=lim[x²/（1+x²）+x²/（1+x²）²+......＋x²/

一道高数题 讨论函数f（x）=lim[x²/（1+x²）+x²/（1+x²）²+......＋x²/（1+x²）∧n]（n趋向无穷） 答案是除x=0外处处联系，∧n指（1＋x²）的n次方，谢谢 再附张图

Answer 1

^^先观察题目：
f(x)=lim(n→∞)
x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
这是一个关于x的函数，对于后面的极限，x被看作常数
而利用
等比数列求和公式
：
x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
=x^2*[1/(1+x^2)]*[1-[1/(1+x^2)]^n]
/
[1-[1/(1+x^2)]]
=x^2*[1/(1+x^2)]*[1-1/(1+x^2)^n]
/
x^2/(1+x^2)
=1
-
1/(1+x^2)^n
因此，
f(x)
=lim(n→∞)
x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
=lim(n→∞)
1
-
1/(1+x^2)^n
={1，x≠0
{0，x=0
那么，明显当x≠0时，f(x)恒为1，明显是连续的
当x=0时，f(x)=0≠1=lim(x→0)
f(x)，根据定义，明显不连续
故原命题成立~~~
有不懂欢迎追问