Question

能不能讲解一下这个不定积分题？

Answer 1

因 分母 x^2-6x+13 无实根， 可化为 (x-3)^2 + 4,
变换的目标是将被积函数化为

A(x^2-6x+13)'/(x^2-6x+13) + B/(x^2-6x+13)
为此这样凑：
(x+5)/(x^2-6x+13) = (1/2)(2x+10)/(x^2-6x+13)
= (1/2)(2x-6+16)/(x^2-6x+13)
= (1/2)(x^2-6x+13)'/(x^2-6x+13) + 8/ [(x-3)^2 + 4]
积分， 得 (1/2)ln(x^2-6x+13) + 4arctan[(x-3)/2] + C

追问

A(x^2-6x+13)'/(x^2-6x+13) + B/(x^2-6x+13)是什么呀？

追答

化成两部分， 前一部分， 分子是分母的导数的常数倍，凑微分为分母的对数 ln(x^2-6x+13)。
后一部分，是剩余部分， 分子为常数， 凑微分为 ∫du/(u^2+a^2) = (1/a)arctan(u/a).

Answer 2

本题的解题思路，就是要把分式化简成为可以利用已知积分公式的形式，为此首先把分子进行变换，把分式变形为两个分式之和，其中前面的分式的分子成为分母的微分，即利用d(x^2-6x+13)=2x-6，先使分子成为2x-6继而使待积函数的分子为1，利用原函数是对数函数的积分公式解决第一个分式的积分问题；第二个分式通过化成可积分为反正切函数的形式，这样解决原题要求的分式不定积分问题。