Question

线性代数，证明线性无关，第②小题，已经有提示，求详细过程，拜托了学霸君！

Answer 1

设 Y = c_1X_1+...+c_nX_n, 其中 c_i 是实数.
如果 Y=0, 那么 tr(Y^2)=0, 也就是 sum_{i,j} c_i c_j tr(X_iX_j) = 0. 利用 tr(X_iX_i) = 1 = (cosθ)^2 + (sinθ)^2 可以把求和写成 (cosθ)^2*sum_{i,j} c_i c_j + (sinθ)^2*sum_i c_i^2 = 0. 这里的第一部分其实等于 (cosθ)^2*(c_1+...+c_n)^2, 是非负的, 而第二部分显然非负, 当且仅当 c_1=...=c_n=0 时才能成立.