Question

数学题目二重积分？

解析详细点

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

追问

这个题目不一样r的范围是0到2cos

追答

那样就没法算了

追问

好的，谢谢

Answer 2

极坐标变化，合理利用所给区域D轻松得到r的关系(注意极坐标变化时初始角度和r的范围)

Answer 3

∫∫[D] (1-x^2-y^2)^0.5dxdy, 其中D为区域(x-1)^2+y^2≤1。
由于(x-1)^2+y^2≤1，可知该二元函数定义域为x∈[0, 2], y∈[-1, 1]。
便可以得知∫∫D (1-x^2-y^2)^0.5dxdy在x-y平面上投影的面积为π。
由于(1-x^2-y^2)^0.5是由球方程x^2+y^2+z^2=1转换而来的，便又由(1-x^2-y^2)^0.5=z为半球方程在区间x∈[-1, 1], y∈[-1, 1], 这也就是(1-x^2-y^2)^0.5在实数区间内有意义的范围。
由于D区域的限制，可知最终∫∫[D](1-x^2-y^2)^0.5dxdy所取定义域为x∈[0,1],y∈[-1,1],x的区间只是半球方程所对应区间的0.5倍，便知道∫∫[D](1-x^2-y^2)^0.5dxdy的几何意义是求半径为1的球的四分之一的体积。
根据球体积公式V=4/3πr^3可知 ∫∫[D] (1-x^2-y^2)^0.5dxdy=1/3π(1)^3=1/3π。
1/3π便是该二重积分的解。

追问

不从几何意义，单纯的计算定积分该怎么算呀

Answer 4

（1）0 （2）1 解法如下 （1）注意到积分区域关于y轴都是对称的，而被积函数关于x是奇函数，所以积分为0 （2)设被积函数为f(x,y),则f(0,0) = 1.，且在(0,0)点处连续 对于半径为r的圆盘D(r),由积分中值定理，二重积分=1/(pi * r^2) * (D(r)的面积

Answer 5

用极坐标， 积分域 D ： r = 2cost 对称于 x 轴，记 D1 为上半圆， 故得

I = ∫∫<D> √(1-x^2-y^2)dxdy = 2∫∫<D1> √(1-x^2-y^2)dxdy
= 2∫<0，π/2>dt∫<0, 2cost>√(1-r^2)rdr
= -∫<0，π/2>dt∫<0, 2cost>√(1-r^2)d(1-r^2)
= -(2/3)∫<0，π/2>dt[(1-r^2)^(3/2)]<0, 2cost>
= -(2/3)∫<0，π/2>{1-[1-4(cost)^2]^(3/2)}dt,
令 cost = (1/2)sinu, 则 t =
怀疑题目有误，请附印刷版原题图片。

追问

我也是算到你这一步，后面的定积分不会求了

追答

极坐标、直角坐标、一般变换都用过， 解不出。仔细看， 还是题目有误。
被积函数定义域是 x^2+y^2 ≤ 1, 但积分区域 D 有一部分超出定义域，
例如点 (1, 0.1) ， (1.9, 0) 等。所以本题题目错误。