Question

1丶 已知函数f(x)=x+4/x (x>0)证明f(x)在[2,+无穷）内单调递增。

2丶
已知函数f(X)是定义在[-2,2]上增函数求满足f(1-m)求满足f(1-m)>f(1+2m)的实数m的取值范围
3丶
函数f(X)=-2x²+4x-1,x属于[0,3] 的最小值为m。最大值为M求M-m的值
4丶
实数x,y满足3x²+2y²=6x求x²+y²的最大最小值
5丶
已知函数f(X)=x²+2x+a/x（1) 当a=1/2时，x属于[0,+无穷)求函数f(x)的最小值
（2）若对于任意x属于[1,+无穷）f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

1.任取 2<x1<x2
利用定义f(x2)-f(x1)= 计算出来,并和0 比较大小,得到其单调性

2. 首先因为f(X)是定义在[-2,2]上
所以 -2<=1-m<=2 ,且-2<=1+2m<=2 又是增函数,所以1-m>1+2m
解: -1<=m<=3 ,且 -3/2<=m<=1/2 且, 3m<0
所以 -1<=m<0

3.对称轴为x= 1 ,抛物线开口向下
在区间[0,3]中, 最大值为顶点: f(1) =-2+4-1=1
再求端点值: f(0)=-1 ,f(3)=-2*9+4*3-1 =-7
所以最大值为M=1 最小值为m=-7
M-m=8

4. 3x^2+2y^2=6x变形 : 3x^2-6x+3+2y^2=3
3(x-1)^2+2y^2=3
(x-1)^2+y^2/(3/2)=1
令 sina =x-1 ,x=1+sina
cosa =y/√ (3/2) ,y=√ (3/2)*cosa

所以x^2+y^2 =(1+sina)^2+(√ (3/2)*cosa)^2 =1+2sina+sin^2a+3/2cos^2a
=1+2sina +sin^2a +3/2(1-sin^2a)
=5/2+2sina -1/2sin^2a

再换元 令t=sina ,则 t范围是[-1,1]
y=5/2+2t-1/2t^2
对称轴为 t=2 所以在[-1,1]范围内,y是递增的
最大值为 t=1 时候 ymax=5/2+2-1/2=4
最小值为 t=-1 时候 ymin =5/2-2-1/2=0

5.利用求导,并令导数为0 求得极小值,也就是最小值

Answer 2

1。设a>b》2，需要证明f（a）-f（b）=a+4/a-b-4/b>0,即（同时乘以ab）a2b+4b-4a-ab2=（a-b）（ab-4）（a>b,a>b》>2,）所以a-b>0。ab-4>0所以f（a）-f（b）>0,函数在[2,+无穷）内单调递增
2:2》1-m>1+2m》-2，解得到0>m》-1
3:f(X)=-2x²+4x-1=-2(x-1)2+1,对称周为x=1。又有一0《x《3；所以最大值M=1；最小值为m=f(3)=-7,M-m=8
4:2(x2+y2)=6x-x2=-(x-3)2+9《9；x2+y2最大值为9/2；最小值为x=y=0是，最小值为0
5：x属于[0,+无穷)求函数f(x)的最小值，x可以为0？？？f(X)=x²+2x+a/x；x为分母能为0 么？

Answer 3

没难度！