Question

别人跟我说数学拓扑学博士很难毕业，这是为什么？拓扑学真的有这么难吗？

数学拓扑学是干什么用的，用什么实用价值吗，学这个方向有什么前景？谢谢

Answer 1

有人告诉我，数学拓扑学博士毕业很难。为什么？拓扑学真的那么难吗？

因为什么是拓扑？拓扑学的英文名是Topology，直译是地理学，即类似于研究地形地貌的相关学科。在中国早期被翻译成“情境几何”、“连续几何”、“一对一连续变换群下的几何”。然而，这些翻译并不容易理解。1956年，统一数学命名法将其确定尺慎为拓扑学，是音译。拓扑学是几何学的一个分支，但这个几何学不同于通常的平面几何学和立体几何学。通常平面几何或立体几何的研究对象是点、线、面之间的位置关系及其度量性质。拓扑学与研究对象的长度、大小、面积、体积等度量属性之间的数量关系无关。例如，在通常的平面几何中，将平面上的一个图形移动到另一个图形。如果两个图形完全重合，那么这两个图形称为同余。然而，拓扑学中所研究的图形无论其大小或形状在运动中都是变化的。在拓扑学中，没有不可弯曲的元素，每个图形的大小和形状都是可以改变的。比如前面提到的欧拉解决哥尼斯堡七桥问题时，他画的图形没有考虑它的大小和形状，只考虑了点和线的数量。这些都是拓扑思维的起点。拓扑性质是什么？首先我们引入拓扑等价，这是一个很容易理解的拓扑性质。拓扑学中不讨论两个图之间的同余的概念，而是讨论拓扑等价的概念。比如圆、正方形、三角形虽然形状大小不同，但都是拓扑变换下的等价图形。左图中的三个东西在拓扑上是等价的，换句话说，从拓扑学的角度来看是完全一样的。在一个球面上选择一些点，用不相交的线连接起来，这样球面就被这些线分割成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍与原数相同，这就是拓扑等价。一般来说，对于任意形状的封闭曲面，只要曲面不被撕裂或切割，其变换就是拓扑变化，存在拓扑等价。需要指出的是，torus不具备这种性质。比如左图所示，如果把圆环体切开，就不会分成很多块，而是变成一个弯曲的桶形。在这种情况下，我们说球面在拓扑上不能变成环面。所以球面和圆环面在拓扑学上是不同的曲面。一条直线上的点与线之间的组合关系和序列关系在拓扑变换下不变，这是一种拓扑性质。在拓扑学中，曲线和曲面的封闭性质也是拓扑性质。我们平时说的平面和曲面，通常都是有两面的，就像一张纸有两面一样。但是德国数学家莫比乌斯(1790 ~ 1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种表面不能两面涂不同的颜色。拓扑的不变量和不变量有很多，这里就不介绍了。拓扑学建立后，由于其他数学学科的发展需要，也得到迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何后，他把拓扑的概念作为解析函数论的基础，进一步推动了拓扑学的进步。20世纪以来，集合论被引入拓扑学，开辟了拓扑学的新面貌。拓扑学变成了关于任意点集对应的概知盯念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。由于大量自然现象的连续性，拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的陵猛敬可能性。通过对拓扑学的学习，可以明确空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。自20世纪30年代以来，数学家们对拓扑学进行了更深入的研究，提出了许多新概念。比如一致结构、抽象距离、近似空间等概念。数学中有一个分支叫微分几何，用微分工具研究线和面在一个点附近的弯曲，拓扑学研究面的全局关系，所以两个学科之间应该有某种本质的联系。1945年，美国华裔数学家陈省身在代数拓扑和微分几何之间建立了联系，促进了全球几何的发展。到目前为止，拓扑学在理论上已经明确分为两个分支。一个分支侧重于用分析方法进行研究，称为点集拓扑学，或解析拓扑学。另一个分支侧重于代数方法，称为代数拓扑。现在，这两个分支有了统一的趋势。拓扑学广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支。一般来说，拓扑学很难。