Question

已知函数f(x)=mln（x+1），g（x）＝x/x+1（x大于-1） 讨论函数F（x）＝f（x）-

已知函数f(x)=mln（x+1），g（x）＝x/x+1（x大于-1）
讨论函数F（x）＝f（x）-g（x）在（-1，+∞）上的单调性

Answer 1

• F(x)=mln(x+1)-x/(x+1)=mln(x+1)-(x+1-1)/(x+1)=mln(x+1)+1/(x+1)-1  x>-1

  F'(x)=m/(x+1)-1/(x+1)²=(mx+m-1)/(x+1)²  x>-1

  驻点x=(1-m)/m>-1→1/m>0→m>0 ,即m>0时，存在驻点。

  ∴m≤0时，F'(x)<0,F(x)为减函数，在x∈(-1,+∞)上的单调递减；

  m>0时：F''(x)=-m/(x+1)²+2/(x+1)³=(2-mx-m)/(x+1)³

  F''[(1-m)/m]=m³>0→驻点x=(1-m)/m是极小值点

  ∴x∈(-1,(1-m)/m)F(x)单调递减，x∈((1-m)/m,+∞)F(x)单调递增。