f(x)=x^3的单调区间及单调性,
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f(x)＝x^3在(-∞,∞)单调递增
设x1,x2∈(-∞,∞),且x1 < x2,则有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]
(1)当x1,x2同号时,即x1·x2 > 0,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,3·x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(2)当x1,异号时,即x1·x2 < 0,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2＋2·x2·x1＋(x1)^2－x2·x1＝(x2＋x1)^2－x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,-x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(3)当x1＝0,x2 > 0时,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2 > 0
(4)当x2＝0,x1 < 0时,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x1)^2 > 0
综上所述,(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
∴(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2] > 0
即f(x2)－f(x1) > 0
∴f(x)＝x^3在(-∞,∞)单调递增
设x1,x2∈(-∞,∞),且x1 < x2,则有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]
(1)当x1,x2同号时,即x1·x2 > 0,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,3·x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(2)当x1,异号时,即x1·x2 < 0,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2＋2·x2·x1＋(x1)^2－x2·x1＝(x2＋x1)^2－x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,-x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(3)当x1＝0,x2 > 0时,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2 > 0
(4)当x2＝0,x1 < 0时,则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x1)^2 > 0
综上所述,(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
∴(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2] > 0
即f(x2)－f(x1) > 0
∴f(x)＝x^3在(-∞,∞)单调递增
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2025-01-06 广告
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