Question

1-cosx等价无穷小为什么是x/2/2

Answer 1

用二倍角公式：

cos2a=1-2sin²a

1-cos2a=2sin²a

所以：1-cosx=2sin²(x/2)~2×(x/2)²~x²/2

所以：1-cosx的等价无穷小为x²/2

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

Answer 2

等价无穷小实际上就是泰勒公式的简易运用

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具（摘自百度百科）

泰勒公式就是：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)/2!+f'''(x0)(x-x0)/3!+......+f(n)(x0)(x-x0)/n!+R(x))

如果把x0设为0（也就是麦格劳林公式），那么由泰勒公式我们可以得到：

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+?＋（－1）＾nx^2n/(2n)!+0^(x^2n)。

进一步化简：cosx=1-x^2/2+x^4/24

-x^6/6!+......

从x^4/24这一项开始往后，数太小了，我们可以省略掉，那么我们可以得出：cosx~1-x^2/2

同理，其他等价无穷小也可以这样得出。比如sinx~x,ln(1+x)~x

Answer 3

详情如图所示:

供参考，请笑纳。