Question

什么是等价无穷小

Answer 1

等价无穷小　　首先来看看什么是无穷小：
　　无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)＝0(或f(x)＝0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)＝(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)＝是当n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
　　这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：
　　假设a、b都是lim的无穷小
　　如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）
　　比如b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。
　　如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。
　　下面来介绍等价无穷小：
　　从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b
　　等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a＇、b～b＇则：lim a/b=lim a＇/b＇
　　现在我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)
　　根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0
　　 重要的等价无穷小替换
　　sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna e^x-1~x ln(1+x)~x
　　(1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~1/nx loga(1+x)~1/lna x
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