Question

已知a是方程x²－x－1＝0的一个根，求下列各式的值：（1）a－1÷a；（2）2010－a³＋2a²

Answer 1

(1)解答：
a-1/a=(a^2-1)/a=a/a=1
(2)解答：
由题意得：a^2-a-1=0
a^2-2a-1=-a
a^2-2a=1-a
a^3-2a^2=a-a^2=-1
2010-a^3+2a^2=2010-(a-a^2)=2010-(-1)=2011

Answer 2

a是方程x²－x－1＝0的一个根,则a^2-a-1=0
a^2=a+1
a^2-1=a
(1)a-1/a=(a^2-1)/a=(a)/a=1
(2)2010-a^3+2a^2
=2010-a*(a+1)+2(a+1)
=2010-a^2-a+2a+2
=2012-(a+1)+a
=2012-a-1+a
=2011

Answer 3

(1)假如a=0，则a就不可能是x²－x－1＝0的一个根，所以a≠0（反证法）
因为a是方程x²－x－1＝0的一个根，所以a^2-a-1=0，又因为a≠0，所以在方程的两边除以a，则得a-1=1/a，即a-1/a=1.
(2)2010－a³＋2a²=2010-a^2(a-2)
由第（1）a^2-a-1=0可得a^2=a+1，带入上式可得：
2010－a³＋2a²=2010-a^2(a-2)=2010-(a+1)(a-2)=2010-(a^2-a-2)=2010-(1-2)=2011