Question

1平方+2平方+3平方+n平方是什么?

Answer 1

平方和公式：1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

推理如下:

2³-1³=3×1²+3×1+1

3³-2³=3×2²+3×2+1

4³-3³=3×3²+3×2+1

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

以上n个式子相加，得：

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)

即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n

∴3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)

即S=n(n+1)(2n+1)/6。

相关公式：

（1）（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²-b³

（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²-b³的推导过程如下：

(a-b)³

=(a-b)(a-b)²（分解成两个因式相乘）

=(a-b)(a²-2ab+b²)（把(a-b)²用乘法表达出来）

=a³-3a²b+3ab²-b³（依次相乘得到最后结果）

（2）（a+b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³

（3）a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

（4）a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）