Question

sinx的四次方求不定积分？？ 过程

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

(sinx)^4

= (sinx^2)^2

= ((1 - cos2x)/2)^2

= (1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4

= 0.25 - 0.5cos2x + 0.125(1 + cos4x)

= (cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8

∫ (sinx)^4dx

= ∫ ((cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8)dx

= ∫ ((cos4x)/8)dx - ∫ ((cos2x)/2)dx + ∫ (3/8)dx

= (1/32)∫ cos4xd4x - (1/4)∫ cos2xd2x + (3x/8)

= (sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数。因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料：百度百科——不定积分

Answer 3

令A=∫ (sinx)^4 dx，B=∫ (cosx)^4 dx
A+B=∫ (sinx)^4+(cosx)^4 dx
=∫ [(sinx)^2+(cosx)^2]^2-2(sinxcosx)^2 dx
=∫ 1-(1/2)*(sin2x)^2 dx
=∫ 1-(1/4)*(1-cos4x) dx
=∫ 3/4+(1/4)*cos4x dx
=3x/4+(1/16)*sin4x+C1
A-B=∫ (sinx)^4-(cosx)^4 dx
=∫ [(sinx)^2+(cosx)^2][(sinx)^2-(cosx)^2] dx
=∫ (sinx)^2-(cosx)^2 dx
=(1/2)*∫ (1-cos2x)-(1+cos2x) dx
=∫ -cos2x dx
=(-1/2)*sin2x+C2
所以原式=A=(1/2)*[(A+B)+(A-B)]
=(1/2)*[3x/4+(1/16)*sin4x-(1/2)*sin2x]+C
=3x/8+(1/32)*sin4x-(1/4)*sin2x+C，其中C是任意常数