Question

n次根号下n的极限是什么？

Answer 1

lim(n→＋∞）n^(1/n)=1。

求法：

以下n^(1/n)表示n的1/n次方，即n的n次算术根。

解：当n>1时，显然。

n^(1/n)-1>0。

令n^(1/n)-1=t,则t>0,由二项式定理得。

n=(1+t)^n。

=C(n,0)t^0+C(n,1)t^1+C(n,2)t^2+......+C(n,n)t^n。

>C(n,2)t^2。

=n(n-1)t^2/2。

因此。

2>(n-1)t^2。

从而。

t0。

n^(1/n)-1<√2/√（n-1)。

lim(n→＋∞）√2/√（n-1)=0,。

由数列极限的迫敛性得。

lim(n→＋∞）（n^(1/n)-1)=0。

即。

lim(n→＋∞）n^(1/n)=1。

定义

如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。

求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。