Question

要任意选取多少个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差为2的倍数

Answer 1

1种 假设有3个数a,b,c,他们任意两个数的差都不是2的倍数,即都是奇数,则有
a-b=奇数
a-c=奇数
b-c=奇数
三式相加：
2a-2c=奇数+奇数+奇数=奇数
2（a-c）=奇数
左边很明显是偶数,右边却是奇数,所以有矛盾,假设不成立
所以这三个数中至少有两个数的差是偶数
2种 按除以2的余数可将所有自然数分为两组：余数为0、余数为1,在同一组的数对2同余（除以2有相同的余数,对m同余的两个数的差是m的倍数）.在所有自然数中任意取逐个取出,当取到第3个时,必有两个在同一组（抽屉原理）,那么这两个数同余,也即有两个数的差时2的倍数.