Question

∫dx/(x^2+a^2)^2

Answer 1

令x＝atanu,则：u＝arctan（x/a）,dx＝［a/（cosu）^2］du.
sin2u＝2sinucosu/［（cosu）^2＋（sinu）^2］＝2tanu/［1＋（tanu）^2］＝2x/（1＋x^2）.
∴∫［1/（x^2＋a^2）^2］dx
＝∫｛1/［（atanu）^2＋a^2］^2｝［a/（cosu）^2］du
＝（1/a^3）∫（cosu）^2du
＝［1/（2a^3）］∫（1＋cos2u）du
＝［1/（2a^3）］∫du＋［1/（4a^3）］∫cos2ud（2u）
＝［1/（2a^3）］u＋［1/（4a^3）］sin2u＋C
＝［1/（2a^3）］arctan（x/a）＋［1/（4a^3）］［2x/（1＋x^2）］＋C
＝［1/（2a^3）］arctan（x/a）＋x/［2a^3（1＋x^2）］＋C.