Question

拉格朗日插值公式

Answer 1

拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。

一、公式介绍

      线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式：P1(x) = ax + b，使它满足条件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1

      其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。

      线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x0, x1]比较小，且f（x）在[x0, x1]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。

二、详细释义

      任给定F中2n+2个数x1，x2，…，xn+1，y1，y2，…，yn+1，其中x1，x2，…xn+1互不相同，则存在唯一的次数不超过n的多项式pn(x)，满足pn(xi)=yi(i=1，2，…，n+1)，这里叫拉格朗日插值公式。

      公式的几何解释是：存在唯一的次数不超过n的抛物线

      通过平面上的给出的n+1个点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，…，Mn+1(xn+1，yn+1)。

      特别地，如对于自变数的两个值，给出了线性函数的(n=1)对应值，这线性函数就被确定。从几何方面说，直线由其两点确定，即：