Question

什么是【公倍数】和【最小公倍数】?

Answer 1

公倍数 (Common Multiple)是几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数。 例: 15是3和5的公倍数。 55是5和11的公倍数。 100是5、10和20的公倍数。 最小公倍数是一些数的公同最小倍数;即 例如:12
18 12的倍数: 12
24
36
48
60
72... 18的倍数: 18
36
54
72
90... 哪些倍数是相同的: 36
72... 哪个最小? 是36 ∴12
18的最小公倍数是36
在国小课程中，因数与倍数的讨论以正整数为范围。 因数与倍数 依据教育部公布的国民中小学九年一贯课程纲要数学领域的说明：「一个不为零的整数甲，若能整除另一整数乙，甲称为乙的因数，乙称为甲的倍数。」以 12 为例， 12 ＝ 1 × 12 ，也可以是 12 ＝ 2 × 6 ，也可以是 12 ＝ 3 × 4 ，也就是说 1 、 12 、 2 、 6 、 3 、 4 都 可以整除 12 ，所以 1 、 12 、 2 、 6 、 3 、 4 就是 12 的因数。 如果要知道一个数是否为另一数的因数，我们可以用除法去检验，例如： 13 是不是 169 的因数？我们可以用 169 ÷ 13 ，如果可以整除， 13 就是 169 的因数。如果要找出一个数的所有的因数，以 24 为例，我们有 2 种方法可以找出：一种是从小的数依序开始， 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6… ，看看是不是可以整除 24 ，如果可以整除，这些数就是 24 的因数。另外，我们可以用乘法的概念来找， 24 ＝ 1 × 24 ＝ 2 × 12 ＝ 3 × 8 ＝ 4 × 6 ，所以 24 的因数是 1 、 24 、 2 、 12 、 3 、 8 、 4 、 6 ，这种方法较为省时省力，因为任何一数都是两个数的乘积，所以只要找出 24 一半的因数是 1 、 2 、 3 、 4， 即可找出 24 的另一半因数 2 4、12、8、6 ，也就是说在找出因数 1 、 2 、 3 、 4 的同时，也得到了因数 24 、 12 、 8 、 6 。 另外，在课程中也学习质数和合数的概念：一个大于 1 的正整数只有 1 和本身两个因数时，称为质数，如 20 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19。 一个大于 1 的正整数不是质数的数便称为合数， 20 以下的合数便是 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18。从上面的定义，我们知道1不是质数也不是合数。 因数与倍数的关系 一个不为零的整数甲，若能整除另一整数乙，甲称为乙的因数，乙称为甲的倍数。以 12 为例， 3 可以整除 12 ， 3 就是 12 的因数，相对的， 12 就是 3 的倍数。一个数同时也是它所有因数的倍数，例如： 6 的因数是 1、2、3、6；6也是1、2、3、6的倍数。 一个数的因数是有限的，但一个数的倍数却是无限多个。 公因数与最大公因数 一整数甲同为两个以上整数的因数时，则甲为这些数的公因数。公因数中最大者即为最大公因数。我们要判断一个数是不是另外两数的公因数时，我们也会用除法来检验。例如： 4 是否为 12 和 18 的公因数？我门可以将 12 ÷ 4 ， 18 ÷ 4 ，都能被除尽时， 4 才是公因数；但因为 18 不能被 4 整除，所以 4 不是 12 和 18 的公因数。 如果两数除了 1以外，没有其他的公因数时，我们就称为两数互质。例如3和4互质，11和5互质，29和12互质。 我们要找出两数的所有公因数，也有两种方法：一种是把两个数各由小而大依序列出它所有的因数，再圈出相同的因数就是两数的公因数，以 12 和 18 为例， 12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18，其中相同的因数是1、2、3、6，这些就是公因数，而6就是12与18的最大公因数，以(12. 18)=6，或gcd(12
18)=6表示 。另一方法是只先列出一个数的所有因数，再以这些因数去检验是否可以整除另一个数，如果可以，这些数就是这两数的公因数。例如：要找出 45 和 36 的公因数，我们可以先找出 45 的因数是 1、3、5、9、 1 5、 4 5， 再以 1、3、5、9、15、45 来除 3 6， 看是否可以整除，结果 1 、 3、9 可以整除 36 ，所以 1 、 3、9 就是 45 和 36 的公因数，而 9 就是最大公因数。 要找出最大公因数的方法还可以使用短除法，举例如下： 所以（ 1 2，18 ）＝ 2×3＝6 所以（45，36）＝3×3＝9 上面的两个式子是以短除法求最大公因数的解题纪录，左式要求出 12 和 18 的最大公因数，先以 2 作为 12 和 18 的公共除数（即公因数），得到 6 和 9 ，再重新由 2 开始找寻可以整除 6 和 9 的数，发现 2 不能整除，于是用 3 去除，得到 2 和 3 ，之后除了 1 以外，再也没有别的数可以整除 2 和 3 ，因此得到最大公因数是 2 × 3 ＝ 6 。 上面左式，求出 45 和 36 的最大公因数，因为 2 不能整除 45 和 36 ，所以用 3 试， 3 可以作为公共除数（即公因数），得到 15 和 12 ，接下来还是要从 3 试，看能否整除 15 和 12 ，发现可以，得到 5 和 4 ，之后除了 1 以外，再也没有别的数可以整除 2 和 3 ，所以 45 和 36 的最大公因数得到 3 × 3 ＝ 9 。短除法是寻找最大公因数的便捷方法，但是孩子在短除法的计算过程中可能会遗漏公因数，这是要特别留意的地方。 公倍数与最小公倍数 一整数乙同为两个以上整数的倍数时，则乙称为这些数的公倍数。公倍数中最小者即为最小公倍数。例如： 72 是 12 的倍数，也是 18 的倍数，所以 72 是 12 和 18 的公倍数。 寻找两数最小公倍数的方法可以用由小而大依序列出倍数的方法得到，以 12 和 18 为例， 12 的倍数依序有： 1 2、24、36、48、60、72、84…….，而18的倍数有18、36、54、72、90….，最小公倍数就是36，以〔12
18〕＝36，或lcm(12
18)=36表示。其他的公倍数都是最小公倍数的倍数。因此， 如果要找出 12 和 18 的 3 个公倍数，我们只要以最小公倍数 36 乘以 2 倍得到 72 ，乘以 3 倍得到 10 8，就得到 12 和 18 的 3 个公倍数 3 6、72、108 。 使用短除法也可以求出最小公倍数，下列左式是求 2 数的最小公倍数的解题纪录，右式是求 3 数的最小公倍数的解题纪录，说明如下： 所以〔 4 5，36〕 ＝ 3×3×5×4＝180 所以〔10，12，16〕＝2×2×5×3×4＝240 上式求 45 和 36 的最小公倍数，作法和求最大公因数的方法相同，再将公因数和不是公因数的数都相乘，得到 3×3×5×4＝180，180就是 45 和 36 的最小公倍数。 在上式中，要求出 3 个数的最小公倍数，方法是先要先将 1 0、12、18这 3 个数的公因数求出，发现 2 可以整除 1 0、12、16这3数，得到5、6和8，再从2开始试除，发2现可以整除6和8得到3和4，因为5除不尽，我们将5留下，依序得到5、3、4；最后算出最小公倍数是2×2×5×3×4＝240。 在求 3 个数的最小公倍数的解题过程中，我们要留意的是：要先以 3 个数的公共因数先除，之后再以其中任意 2 个数的公因数去除，这样才不会有所遗漏；如果在同一题中，要算出最大公因数和最小公倍数，使用短除法计算，要细心才不会弄混或乘错。
公倍数 是几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数。 最小公倍数是一些数的公同最小倍数