Question

用高等数学中值定理证明！帮帮忙了

证明：1/(1+x)<ln(1+x)-lnx<1/x 谢谢大家了！

Answer 1

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a) ,ζ在a,b之间

用在这道题上：设f(x) = lnx,f'(x)=1/x

所以ln(1+x)-lnx = f(1+x) - f(x) = f'(ζ)(1 + x - x) = f'(ζ) = 1/ζ
(ζ在x和1 + x之间)
因为x>0(lnx的定义域决定)
所以 0 < x < ζ < 1+x
所以1/(1+x)< 1/ζ < 1/x
而由前面步骤ln(1+x)-lnx = 1/ζ
所以 1/(1+x)<ln(1+x)-lnx<1/x