Question

手算开立方根问题？

Answer 1

知识+14年前就有人问过直式开立方根
或许更早或较晚也 有
不过其回答中所附连结多已不存在
无法看到具体计算 列式. 我小时候学过
也知道计算原理
可是不记得具体计算 如何列式
自己想的结果却很丑
不像平方根的算法可以很 漂亮地列式. 所以就不现丑了. 说一说原理吧. 直式开立方根的原理是根据立方公式: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3 + (3a^2+3ab+b^2)b = a^3 + [3a(a+b) + b^2]b 以 6000 开立方根为例
首先是分节
三位数一节
自右向 左
成为 6
000. 最左一节是 6
1^3 < 6 < 2^3
所以立方根最左一位是 1
也就是 10. 所以 a=10
6000 = (10+a)^3. 1^3 = 1
6-1 = 5
再把次一节放下
成 5000
这是 3a^2b+3ab^2+b^3 = [3a(a+b) +b^2]b 的部分. 接着要估计 b
b = 5000/[3a(a+b) + b^2] = 5000/[30(10+b)+b^2] 诋误法得 8 < b < 9
所以得 b=8
并且 [3a(a+b)+b^2]b = 4832 自 5000 减去
得余值 168. 所以 6000 = 18^3 + 168 若要继续计算
则再放下下一节
得 168.000
而 168.000 = [3×18(18+b) + b^2]b 粗估 b ≒ 168.000/(3×18^2) = 0.1... 取 b=0.1
[3a(a+b)+b^2]b = 97.741 再下一位的计算由 168.000-97.741 = [3×18.1(18.1+b)+b^2]b 粗估 b = 70.259/(3×18.1^2) = 0.07... 若只要算到小数一位
则依四舍五入原则
6000 ≒ 18.2^3 若结果要取小数2位
以下四舍五入
则要再估算小数 第3位. 比较平方根算法: (a+b)^2 = a^2 +(2a+b)b
除 b之估计 较容易外
2a+b = (a+a) + b. 算出 b 后
(2a+b) + b = 2(a+b) 可以很好列式: a +a ----- 2a + b + b ------------- 2(a+b) + c + c ------------------ 2(a+b+c) ... 除直式计算
其实也可以考虑数值方法
例如牛顿法 x(new) = [2(x(old))+6000/(x(old))^2]/3 如以 x(0) = 10 开始
x(1) = (2×10+6000/100)/3 = 26.7 因 20^3 已超过 6000
故不妨改用 x(0)=20
则 x(1) = (2×20+6000/400)/3 ≒ 18.33 x(2) = (2×18.33+6000/18.33^2)/3 ≒ 18.17 如有简单型计算器
但无法直接计算立方根
或 只能手算时
此法可用.