Question

矩阵的秩是什么？

Answer 1

首先α=（a1，a2，a3，an）^T是一个列向量。而且向量中的每个元素都不为0，所以aat的秩等于1（单个向量的秩不可能大于1）。

同理α^T是一个行向量，所以α^T的秩也是等于1的。

A=αα^T。

根据矩阵秩的性质中。

AB的秩≤A的秩和B的秩的较小的数。

所以A的秩≤α的秩和α^T的秩中较小的数。

即A的秩≤1。

同时因为α和α^T的每个元素都不为0。

所以A矩阵的每个元素也都不为0，所以A的秩不可能为0，所以A的秩为1。

矩阵的秩：

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

以上内容参考：百度百科-矩阵的秩