Question

已知a∈R，函数 f(x)= a x +lnx-1，g(x)=(lnx-1) e x +x （其中e为自然对？

Answer 1

（1）∵ f(x)=
a
x +x+lnx-1 ∴f′（x）= -
a
x 2 +
1
x =
x-a
x 2 ，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值
a
e ．；
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值
a
e ．；
（2）不存在．证明如下
g(x)=(lnx-1)
e x +x ，x∈（0，e]，
∴g′（x）=
1
x •e x +（lnx-1）e x +1=（
1
x +lnx-1）e x +1
由（1）知，当a=1时， f(x)=
1
x +lnx-1 ，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即
1
x +lnx-1≥0 ，而e x ＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直，等价于g′（x 0 ）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x 0 ）=0无实数根，
故不存在实数x 0 ∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直．,9, 已知a∈R，函数 f(x)= a x +lnx-1，g(x)=(lnx-1) e x +x （其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x 0 ∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直？若存在求出x 0 的值，若不存在，请说明理由．