Question

请问，为什么对正弦函数y=sinx求反函数？

Answer 1

对正弦函数y=sinx求反函数的原因主要有两个：

• 三角函数与反三角函数是一组完备的函数系统，它们可以表示和构造出所有的函数。
  对正弦函数求反函数可以完善这一函数系统，使得我们能够更好地理解和使用三角函数。

• 在实际应用中，反三角函数也有着广泛的应用。例如，在信号处理、图像处理、控制系统等领域，
  经常需要用到反三角函数来对信号或系统进行建模和分析。
  现在我们来求y=sinx的反函数。
  y=sinx的反函数为x=arcsiny，其中y的取值范围为[-1, 1]，x的取值范围为[-π/2, π/2]。

Answer 2

我给个解释，虽然时间晚了点。
对正弦函数y=sin x，x∈R，其反函数是x=arc sin y。
但是，还没完。同时规定（好像叫主值…的）了，x=arc sin y的定义域是y=[-1,1]，值域是x=[-π/2，π/2]。
那么，因为正弦函数的定义域是R，就会产生，当x取值在（-∞，-π/2]U[π/2，﹢∞）时，相应的反函数如何对应的问题。
我的方法是，正弦函数也可以看做是一个规定了主值，即y=sin x，x∈[-π/2，π/2]，当x取值在（-∞，-π/2]U[π/2，﹢∞）时，可以认为是x=t±nπ，n∈Z（整数）。
所以，对于y=sin x，x∈[0，π]可以用一个分段函数g表示，有
g=sin x，x∈[0，π/2]和g=sin （-x+nπ），x∈[-π/2,0]，n∈Z。
可见，对y=sin x来说，当x∈[π/2，π]时，y就可以用g=sin （-x+nπ），x∈[-π/2,0]来表示。
那么，当x∈[π/2，π]时，arc sin y就等价于arc sin g。
arc sin g=-x+nπ，就有x=nπ-arc sin g。
可见，对正弦函数y=sin x，当x∉[-π/2，π/2]时，其反函数就是x=nπ-arc sin y。
至于n取什么值，就需要看x在什么范围了。
本题中，x∈[π/2，π]，则取n=1，有x=π-arc sin y。