已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈R.?

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大沈他次苹0B
2022-11-14 · TA获得超过7315个赞
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解题思路:(Ⅰ)把函数解析式提取 2 后利用两角和的正弦化积,然后直接取x=[π/12]求得f([π/12])的值;
(Ⅱ)由二倍角的余弦公式可知g(x)=cosx-sinx,化积后利用余弦型复合函数的单调性求函数g(x)的单调区间.
(Ⅰ)f(x)=sinx+cosx=
2sin(x+
π
4),
∴f(
π
12)=
2sin(
π
12+
π
4)=
2sin
π
3=

6
2;
(Ⅱ)g(x)=cosx-sinx.
下面给出证明:
∵g(x)f(x)=(cosx-sinx)(sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x,
∴g(x)=cosx-sinx符合要求.
又∵g(x)=cosx-sinx=
2cos(x+
π
4),
由2kπ+π<x+
π
4<2kπ+2π,得2kπ+

4<x<2kπ+

4,
∴g(x)的单调递增区间为(2kπ+

4,2kπ+

4),k∈Z.
又由2kπ<x+
π
4<2kπ+π,得2kπ−
π
4<x<2kπ+

4,
∴g(x)的单调递减区间为(2kπ−
π
4,2kπ+
,1,已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈R.
(Ⅰ)求f([π/12])的值;
(Ⅱ)试写出一个函数g(x),使得g(x)f(x)=cos2x,并求g(x)的单调区间.
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