Question

在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别E,F,CG是AB边上的高

求（1）DE，DF，CG的长存在着怎样的等量关系？加以证明

Answer 1

CG=DE+DF
证明：在CG上取GH=DE,连接DH
∵DE⊥AB,CG⊥AB ∴DE‖CG ∵GH=DE ∴四边形DEGH为矩形
∴DH‖EG ∴∠B=∠HDC ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠HDC=∠C 又CD=CD
∴Rt△CDF≌Rt△DCH ∴DF=CH
∵CG=GH+CH ∴CG=DE+DF

Answer 2

连接AD
∵s△ABD+s△ACD=s△ABC
∴（AB×DE÷2）+（AC×DF÷2）=AB×CG÷2
∴AB×DE+AC×DF=AB×CG
又∵AB=AC
∴AB×DE+AB×DF=AB×CG
∴DE+DF=CG