Question

二次函数顶点坐标公式

Answer 1

　一、基本简介

　　一般地，我们把形如y=ax+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

　　主要特点

　　变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。 在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

　　二次函数图像与X轴交点的情况

　　当△=b-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

　　当△=b-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

　　当△=b-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

　　二、二次函数图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

　　轴对称

　　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

　　特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

　　a,b同号，对称轴在y轴左侧.

　　a,b异号，对称轴在y轴右侧.

　　顶点

　　二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b/4a).

　　当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)+k。

　　h=-b/2a， k=(4ac-b)/4a。

　　开口方向和大小

　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图像的.开口越小。

　　决定对称轴位置的因素 折叠

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a>0,与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a>0,与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- 2a=>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 )，对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　决定与y轴交点的因素

　　常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

　　二次函数图像与y轴交于(0,C)

　　注意：顶点坐标为(h,k)， 与y轴交于(0,C)。

　　与x轴交点个数

　　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

　　k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

　　a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。

　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x

　　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x

　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

　　三、二次函数公式汇总：交点式、两根式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a≠0)。

　　(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)

　　(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.

　　说明：

　　(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。

　　(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。