Question

如何证明arctanx的麦克劳林级数展开式收敛？

Answer 1

1、arctanx 的麦克劳林级数展开式，须分三段进行考虑：

-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞

2、原因是：

A、展开过程中，须先求导，再进行积分；

B、求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；

C、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成两部分：

|x| < 1、|x| ≥ 1；

D、在 |x| ≥ 1 时，有必须考虑积分的下限问题，因此还得再分为二。

3、具体过程，请参见下面的图片。