Question

已知△ABC中,角A,B,C,所对的边分别是a,b,c,且2(a^2+b^2-c^2)=3ab，求

sin^2(A+B)/2
若c=2，求△ABC面积的最大值

Answer 1

1、根据余弦定理： c^2=a^2+b^2-2abcosC 注：角C是边a和边b的夹角
得cosC＝a^2+b^2-c^2/2ab=(3/2ab)/2ab=3/4
所以sin^2(A+B)/2=cos^2(c/2)=2cosc-1=1/2

2、cosC=3/4,则sinC=√1-(cosC)^2 =(√7)/4
c=2.代回已知式子整理得：（a+b)^2＝4－ab/2
根据正弦定理推出来的： S三角形ABC=absinC/2=ab(√7)/8
要求三角形的最大面积，即要求ab的最大值
根据基本不等式（a+b)^2>=2ab，4-ab/2>=2ab
整理得ab<=8/5
即ab取得8/5时S三角形ABC有最大值，为(√7)/5