初中奥数：相遇问题及解析
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【 #初中奥数# 导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。下面是 为大家带来的“初中奥数：相遇问题及解析”，欢迎大家阅读。
1.甲乙同时从东西两镇相向步行，在距离西镇20千米处相遇，相遇后两人继续前进，甲至西镇，乙至东镇后立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇的距离？
2.快慢车同时从甲乙两站相对出发，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需15小时，两车到站后，快车停车0.5小时，慢车停一小时返回，从第一次相遇到途中在相遇，经过多少小时？
1.(没想到好的算术解法，先用方程做一下）
设两镇相距x千米
第一次相遇时，甲走了x-20千米，乙走了20千米
第二次相遇时，甲走了2x-15千米，一走了x+15千米
两人的速度比是一定的，那么在相同时间内的路程比也是一定的
(x-20)/20=(2x-15)/(x+15)
x^2-45x=0,x不可能为0
所以x=45千米
2.快车离乙站还有240千米，即慢车在6小时内走了240千米
慢车每小时走：240/6=40千米
两站相距：40×15=600千米
快车6小时内走了600-240=360千米
所以快车每小时走：360/6=60千米
快车到达乙站需要：600/60=10小时
慢车到达甲站需要：600/40=15小时
等到慢车从甲站再次出发时，
快车已经离开乙站，走了15-10-0.5+1=5.5小时
走了5.5×60=330千米
此时两车相距600-330=270千米
两车相遇还需要270/(60+40)=2.7小时
所以两车从出发到第二次相遇一共经过：
10+0.5+5.5+2.7=18.7小时
从第一次相遇到途中再次相遇，经过：18.7-6=12.7小时
考点：多次相遇问题．
1.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走()米才能回到出发点．
分析：第十次相遇，妹妹已经走了：30×10÷（1.3+1.2）×1.2=144（米）．144÷30=4（圈）…24（米）．30-24=6（米）．还要走6米回到出发点．
解答：解：第十次相遇时妹妹已经走的路程：
30×10÷（1.3+1.2）×1.2，
=300÷2.5×1.2，
=144（米）．
144÷30=4（圈）…24（米）．
30-24=6（米）．
还要走6米回到出发点．
故答案为6米．
点评：此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程．
2.有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有自行车吗？”司机回答：“十分钟前我超过一辆自行车”，这人继续走了十分钟，遇到自行车，已知自行车速度是人步行速度的三倍，问汽车的速度是步行速度的（）倍．
考点：多次相遇问题．
分析：人遇见汽车的时候，离自行车的路程是：（汽车速度-自行车速度）×10，这么长的路程要自行车和人合走了10分钟，即：（自行车+步行）×10，等式：（汽车速度-自行车速度）×10=（自行车+步行）×10，即：汽车速度-自行车速度=自行车速度+步行速度．汽车速度=2×自行车速度+步行速度，又自行车的速度是步行的3倍，所以汽车速度是步行的7倍．
解答：（汽车速度-自行车速度）×10=（自行车+步行）×10，
即：汽车速度-自行车速度=自行车速度+步行速度．
汽车速度=2×自行车速度+步行，又自行车的速度是步行的3倍，
所以汽车速度=（2×3+1）×步行速度=步行速度×7．
故答案为：7．
点评：解答此题的关键是要推出：汽车与自行车的速度差等于人与自行车的速度和．
1.甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步，他们共同跑了8分32秒，在这段时间内两人多次相遇（两人同时到达同一地点叫做相遇）．他们最后一次相遇的地点离乙的起点有()米．甲追上乙()次，甲与乙迎面相遇()次．
分析：8分32秒=512（秒）．
①当两人共行1个单程时第1次迎面相遇，共行3个单程时第2次迎面相遇，共行2n-1个单程时第n次迎面相遇．
因为共行1个单程需100÷（6.25+3.75）=10（秒），所以第n次相遇需10×（2n-1）秒，
由10×（2n-1）=510，解得n=26，即510秒时第26次迎面相遇．
②此时，乙共行3.75×510=1912.5（米），离10个来回还差200×10-1912.5=87.5（米），即最后一次相遇地点距乙的起点87.5米．
③类似的，当甲比乙多行1个单程时，甲第1次追上乙，多行3个单程时，甲第2次追上乙，多行2n-1个单程时，甲第n次追上乙．因为多行1个单程需100÷（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40×（2n-1）秒．当n=6时，40×（2n-1）=440＜512；当n=7时，40×（2n-1）=520＞512，所以在512秒内甲共追上乙6次．
解答：解：①当两人共行1个单程时第1次迎面相遇，共行3个单程时第2次迎面相遇，共行2n-1个单程时第n次迎面相遇．
因为共行1个单程需100÷（6.25+3.75）=10（秒），
8分32秒=512秒，（512-10）÷（10×2）≈25（次），所以25+1=26（次）．
②最后一次相遇地点距乙的起点：
200×10-3.75×510，
=2000-1912.5，
=87.5（米）．
③多行1个单程需100÷（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40×（2n-1）秒．
当n=6时，40×（2n-1）=440＜512；当n=7时，40×（2n-1）=520＞512，所以在512秒内甲共追上乙6次．
故答案为：87.5米；6次；26次．
2.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？
分析：在往返来回相遇问题中，第一次相遇两人合走完一个全程，以后每次再相遇，都合走完两个全程．即：两人相遇时是在他们合走完1，3，5个全程时．然后根据路程÷速度和=相遇时间解答即可．
解答：解答：①第三次相遇时两车的路程和为：
90+90×2+90×2，
=90+180+180，
=450（千米）；
②第三次相遇时，两车所用的时间：
450÷（40+50）=5（小时）；
③距矿山的距离为：40×5-2×90=20（千米）；
答：两车在第三次相遇时，距矿山20千米．
点评：在多次相遇问题中，相遇次数n与全程之间的关系为：1+（n-1）×2个全程=一共行驶的路程．
3.王明从A城步行到B城，同时刘洋从B城骑车到A城，1.2小时后两人相遇．相遇后继续前进，刘洋到A城立即返回，在第一次相遇后45分钟又追上了王明，两人再继续前进，当刘洋到达B城后立即折回．两人第二次相遇后()小时第三次相遇．
分析：由题意知道两人走完一个全程要用1.2小时．从开始到第三次相遇，两人共走完了三个全程，故需3.6小时．第一次相遇用了一小时，第二次相遇用了40分钟，那么第二次到第三次相遇所用的时间是：3.6小时-1.2小时-45分钟据此计算即可解答．
解答：解：45分钟=0.75小时，
从开始到第三次相遇用的时间为：
1.2×3=3.6（小时）；
第二次到第三次相遇所用的时间是：
3.6-1.2-0.75
=2.4-0.75，
=1.65（小时）；
答：第二次相遇后1.65小时第三次相遇．
故答案为：1.65．
点评：本题主要考查多次相遇问题，解题关键是知道第三次相遇所用的时间．
1.甲乙同时从东西两镇相向步行，在距离西镇20千米处相遇，相遇后两人继续前进，甲至西镇，乙至东镇后立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇的距离？
2.快慢车同时从甲乙两站相对出发，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需15小时，两车到站后，快车停车0.5小时，慢车停一小时返回，从第一次相遇到途中在相遇，经过多少小时？
1.(没想到好的算术解法，先用方程做一下）
设两镇相距x千米
第一次相遇时，甲走了x-20千米，乙走了20千米
第二次相遇时，甲走了2x-15千米，一走了x+15千米
两人的速度比是一定的，那么在相同时间内的路程比也是一定的
(x-20)/20=(2x-15)/(x+15)
x^2-45x=0,x不可能为0
所以x=45千米
2.快车离乙站还有240千米，即慢车在6小时内走了240千米
慢车每小时走：240/6=40千米
两站相距：40×15=600千米
快车6小时内走了600-240=360千米
所以快车每小时走：360/6=60千米
快车到达乙站需要：600/60=10小时
慢车到达甲站需要：600/40=15小时
等到慢车从甲站再次出发时，
快车已经离开乙站，走了15-10-0.5+1=5.5小时
走了5.5×60=330千米
此时两车相距600-330=270千米
两车相遇还需要270/(60+40)=2.7小时
所以两车从出发到第二次相遇一共经过：
10+0.5+5.5+2.7=18.7小时
从第一次相遇到途中再次相遇，经过：18.7-6=12.7小时
考点：多次相遇问题．
1.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走()米才能回到出发点．
分析：第十次相遇，妹妹已经走了：30×10÷（1.3+1.2）×1.2=144（米）．144÷30=4（圈）…24（米）．30-24=6（米）．还要走6米回到出发点．
解答：解：第十次相遇时妹妹已经走的路程：
30×10÷（1.3+1.2）×1.2，
=300÷2.5×1.2，
=144（米）．
144÷30=4（圈）…24（米）．
30-24=6（米）．
还要走6米回到出发点．
故答案为6米．
点评：此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程．
2.有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有自行车吗？”司机回答：“十分钟前我超过一辆自行车”，这人继续走了十分钟，遇到自行车，已知自行车速度是人步行速度的三倍，问汽车的速度是步行速度的（）倍．
考点：多次相遇问题．
分析：人遇见汽车的时候，离自行车的路程是：（汽车速度-自行车速度）×10，这么长的路程要自行车和人合走了10分钟，即：（自行车+步行）×10，等式：（汽车速度-自行车速度）×10=（自行车+步行）×10，即：汽车速度-自行车速度=自行车速度+步行速度．汽车速度=2×自行车速度+步行速度，又自行车的速度是步行的3倍，所以汽车速度是步行的7倍．
解答：（汽车速度-自行车速度）×10=（自行车+步行）×10，
即：汽车速度-自行车速度=自行车速度+步行速度．
汽车速度=2×自行车速度+步行，又自行车的速度是步行的3倍，
所以汽车速度=（2×3+1）×步行速度=步行速度×7．
故答案为：7．
点评：解答此题的关键是要推出：汽车与自行车的速度差等于人与自行车的速度和．
1.甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步，他们共同跑了8分32秒，在这段时间内两人多次相遇（两人同时到达同一地点叫做相遇）．他们最后一次相遇的地点离乙的起点有()米．甲追上乙()次，甲与乙迎面相遇()次．
分析：8分32秒=512（秒）．
①当两人共行1个单程时第1次迎面相遇，共行3个单程时第2次迎面相遇，共行2n-1个单程时第n次迎面相遇．
因为共行1个单程需100÷（6.25+3.75）=10（秒），所以第n次相遇需10×（2n-1）秒，
由10×（2n-1）=510，解得n=26，即510秒时第26次迎面相遇．
②此时，乙共行3.75×510=1912.5（米），离10个来回还差200×10-1912.5=87.5（米），即最后一次相遇地点距乙的起点87.5米．
③类似的，当甲比乙多行1个单程时，甲第1次追上乙，多行3个单程时，甲第2次追上乙，多行2n-1个单程时，甲第n次追上乙．因为多行1个单程需100÷（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40×（2n-1）秒．当n=6时，40×（2n-1）=440＜512；当n=7时，40×（2n-1）=520＞512，所以在512秒内甲共追上乙6次．
解答：解：①当两人共行1个单程时第1次迎面相遇，共行3个单程时第2次迎面相遇，共行2n-1个单程时第n次迎面相遇．
因为共行1个单程需100÷（6.25+3.75）=10（秒），
8分32秒=512秒，（512-10）÷（10×2）≈25（次），所以25+1=26（次）．
②最后一次相遇地点距乙的起点：
200×10-3.75×510，
=2000-1912.5，
=87.5（米）．
③多行1个单程需100÷（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40×（2n-1）秒．
当n=6时，40×（2n-1）=440＜512；当n=7时，40×（2n-1）=520＞512，所以在512秒内甲共追上乙6次．
故答案为：87.5米；6次；26次．
2.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？
分析：在往返来回相遇问题中，第一次相遇两人合走完一个全程，以后每次再相遇，都合走完两个全程．即：两人相遇时是在他们合走完1，3，5个全程时．然后根据路程÷速度和=相遇时间解答即可．
解答：解答：①第三次相遇时两车的路程和为：
90+90×2+90×2，
=90+180+180，
=450（千米）；
②第三次相遇时，两车所用的时间：
450÷（40+50）=5（小时）；
③距矿山的距离为：40×5-2×90=20（千米）；
答：两车在第三次相遇时，距矿山20千米．
点评：在多次相遇问题中，相遇次数n与全程之间的关系为：1+（n-1）×2个全程=一共行驶的路程．
3.王明从A城步行到B城，同时刘洋从B城骑车到A城，1.2小时后两人相遇．相遇后继续前进，刘洋到A城立即返回，在第一次相遇后45分钟又追上了王明，两人再继续前进，当刘洋到达B城后立即折回．两人第二次相遇后()小时第三次相遇．
分析：由题意知道两人走完一个全程要用1.2小时．从开始到第三次相遇，两人共走完了三个全程，故需3.6小时．第一次相遇用了一小时，第二次相遇用了40分钟，那么第二次到第三次相遇所用的时间是：3.6小时-1.2小时-45分钟据此计算即可解答．
解答：解：45分钟=0.75小时，
从开始到第三次相遇用的时间为：
1.2×3=3.6（小时）；
第二次到第三次相遇所用的时间是：
3.6-1.2-0.75
=2.4-0.75，
=1.65（小时）；
答：第二次相遇后1.65小时第三次相遇．
故答案为：1.65．
点评：本题主要考查多次相遇问题，解题关键是知道第三次相遇所用的时间．
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