Question

平方数列求和公式推导过程

Answer 1

利用立方差公式：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n。
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2。
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3。
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4。
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n。

各等式全相加：
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)。
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)。
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1。
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2。
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)。

各式相加有：
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n。
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2。
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2。