Question

矩阵秩常用公式和结论证明

Answer 1

（1）若A为mxn矩阵，B为mxq矩阵，将A，B拼接在一起的矩阵的秩记为r(A,B),则有：max{r(A),r(B)}<=r(A,B)<=r(A)+r(B)。

(2)若A,B均为mxn矩阵，则：r(A+B)<=r(A)+r(B)。

（3）若A为mxn矩阵，B为nxs矩阵，则：

r(A)+r(B)-n<=r(AB)<=min{r(A),r(B)}。

(4)若A为mxn矩阵，B为nxk矩阵,C为kxs矩阵，则：

r(AB)+r(BC)<=r(ABC)+r(B)。

r(A)+r(B)+r(C)<=n+s+min{r(A),r(B),r(C)}。

（5）伴随矩阵的秩只有三种情况：当r(A)=n时,则r(A*)=n。

当r(A)=n-1时,则r(A*)=n-1。

当r(A)<n-1时，则r(A*)=0。

（6）两个矩阵A,B，如果满足rank(AB-BA)≤1，那么他们可以同时上三角化，这对应到线性变换就是指A,B有公共特征向量。

（7）如果矩阵A不可逆，满足rank(A)=rank(A²)，那么A的属于特征值0的初等因子只能是1次。

（8）如果矩阵A，满足rank(A)=r，则有相抵标准型，A=PDQ，其中D=diag{I_r,O}。

（9）设A是mxn的矩阵，则r（A）≤min（m，n）。

【注】 若一个矩阵的秩为0，那么这个矩阵一定是0矩阵，反过来亦然。

（10）r（A）＝r（A′）＝r（AA′）=r（A′A）。

【注】A表示任意矩阵，也就是m行n列，最简单的就是向量。A′表示A的转置。