Question

a为何值时，曲线y=aχ2与曲线y=lnχ相切，并求曲线在该切点处的切线和法线方程

请帮忙列出过程，谢谢

Answer 1

当a=0时,直线y=0与曲线y=lnχ显然不能相切。
当a小于0时，请画个图，那也是不可能相切的，
当a大于0时，不妨设F(x)=aχ2-lnχ (x＞0)
要满足题意，使F(x)有且只有一个零点即可，
F'(x)=2ax-1/x,令F'(x)=0
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得x=√1/2a(舍去负的）
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x (0,√1/2a) √1/2a (√1/2a,+∞)
F'(x) 负 0 正
F(x) ↘ 极小值 ↗
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同时F(√1/2a）也是F(x）的最小值，
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当F(√1/2a）=0时满足题意，
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将x=√1/2a代入aχ2-lnχ=0 可得
a=1/2e(请再仔细验算一次）

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当x=√1/2a=√e时曲线相切，代入y=（1/2e）×χ2得切点坐标（√e，1/2）
再求f(x)= aχ2的导,即f'(x)=x/e,代入x=√e,得切线斜率为
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√e/e请自己用点斜式写出直线方程吧
法线的斜率用1除以切线斜率可得,点也已知,接下来的收尾工作请自己完成吧.
希望对你有帮助 ，注：
根号上面那横肯定错位了，请凑合着看吧