Question

已知m∈R，设P：x1和x2是方程x^2-ax-2=0的两个根，不等式丨m-5丨≤丨x1-x2丨对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q

已知m∈R，设P：x1和x2是方程x^2-ax-2=0的两个根，不等式丨m-5丨≤丨x1-x2丨对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)=3x^2+2mx+m+4/3有两个不同的零点。求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围？？. ........解得详细点，谢谢。。。。。

Answer 1

解：P:x1和x2是方程x^2-ax-2=0的两个根，
所以，x1+x2=a,x1*x2=-2
不等式丨m-5丨≤丨x1-x2丨,即不等式(丨m-5丨)^2≤(丨x1-x2丨)^2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=a^2+8
不等式丨m-5丨≤丨x1-x2丨对任意实数a∈[1,2]恒成立
即(m-5)^2≤(x1-x2)^2=a^2+8在a∈[1,2]上的最小值，
即(m-5)^2≤9，解得2=<m<=8.
Q：f(x)=3x^2+2mx+m+4/3有两个不同的零点，
即德尔塔=4m^2-4*3*(m+4/3)>0恒成立
解得m>4或m<-1
P且Q为真，即m既要满足Q也要满足Q
所以交集，得4<m<=8

Answer 2

P为真命题时，x1+x2=a,x1*x2=-2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=a^2+8
不等式丨m-5丨≤丨x1-x2丨可以转化为（m-5）^2≤(x1-x2)^2,即（m-5）^2≤a^2+8
对任意实数a∈[1,2]恒成立，所以（m-5）^2≤9，得2≤m≤8.
Q为真命题时,判别式4m^2-16>0,得m>2或m<-2
使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围为2<m≤8.

Answer 3

“P且Q”为真命题，就是PQ都为真
先做P
x1和x2是方程x^2-ax-2=0的两个根，韦达定理
x1+x2=a x1x2=-2 |x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=a²+8
丨m-5丨²≤丨x1-x2丨²
∴丨m-5丨²≤a²+8 a∈[1,2]
∴丨m-5丨²≤1²+8=9 ∴m∈[2,8]
再做Q
函数f(x)=3x^2+2mx+m+4/3有两个不同的零点
即方程3x^2+2mx+m+4/3=0 有两个不同的实根
∴△＞0 自己算m的范围
最后两个取交集就好了