Question

已知a、b为实数，且a不等于b。求证：（1）a的4次方+b的4次方大于a的3次方b+ab的3次方

（2）a的2次方+b的2次方大于等于ab+a+b-1

Answer 1

(1)a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)^2(a^2+b^2+ab)大于等于0
因为a不等于b，所以a的4次方+b的4次方大于a的3次方b+ab的3次方。
(2)2(a²+b²)-2(ab+a+b-1)
=2a²+2b²-2ab-2a-2b+2
=(a²-2ab+b²)+(a²-2a+1)+(b²-2b+1)
=(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²>0,
所以a的2次方+b的2次方大于等于ab+a+b-1

Answer 2

证明：原不等式左边减右边可变为
a^4+b^4-a^3*b-b^3*a
=(a-b)(a^3-b^3)
=(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)^2*[(a+b/2)^2+3b^2/4]
>0(a不等于b,不取等号)
所以a^4+b^4>a^3*b+a*b^3