Question

4.已知函数 y=y(x) 由方程 e^xy=x^2+y 确定,求 dy|x=0.

Answer 1

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

Answer 2

😳问题 :已知函数 y=y(x) 由方程 e^(xy)=x^2+y 确定,求 dy|x=0

👉微分

• 微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。 [6]  可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。

• 微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一

👉微分的例子

1. 『例子一』 y=x, dy=dx
   

2. 『例子二』 y=sinx, dy=cosx dx

3. 『例子三』 y=x^2, dy=2x dx

👉回答

e^(xy)=x^2+y

• 两边取微分
  

de^(xy)=d(x^2+y)

• 链式法则

e^(xy) d(xy)=2x dx +dy

e^(xy) (xdy + ydx )=2x dx +dy

简化

[xe^(xy) -1] dy = [2x -ye^(xy)] dx

dy = { [2x -ye^(xy)]/[xe^(xy) -1] } dx

• 当 x=0， y(0) =0

• 代入 (x,y)=(0,0)

dy|x=0 =  0

• 得出结果
  

dy|x=0 =  0

😄: dy|x=0 =0