Question

一道高二数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱底面边长为2 则该三角形斜边长为_____________

Answer 1

解：如下图所示，

设BD=x，

∵三角形ADC1为等腰直角三角形，且有正三棱柱，

易知DB1=x,

则CC1=BB1=2x,

有AD²=4+x²=C1D²  

整理得：AC1²=2x²+8

又∵在三角形ACC1中，

有AC²+CC1²=AC1²,

可列方程：2²+(2x)²=2x²+8,

可解得：x=√2

即DB1=√2

在等腰直角三角形三角形ADC1中，腰DB1=√2

则三角形的斜边长AC1=2√3 

所以答案是：2√3

Answer 2

要使其为等腰三角形，那么第三条边的垂直平分线必须经过两腰相交的端点，结合三顶点在等边三角形上，所以要求的等腰三角形的垂直平分线也是等边三角形的垂直平分线，所以等腰三角形的斜边与等边三角形的一边平行，再考虑为等腰直角三角形，其顶角为90度，且被平分， 所以就考虑一半，余弦定律得解