Question

反证法：已知|a|<1,|b|<1.求证|a+b/1+ab|<1

要用反证法！！哪位大侠能帮帮忙啊T___T

Answer 1

假设
|(a+b)/(1+ab)|>=1
=>|a+b|>=|1+ab|
=>(a+b)^2>=(1+ab)^2
=>(a+b)^2-(1+ab)^2>=0
=>(a+b+1+ab)(a+b-1-ab)>=0
=>(a+1)(b+1)(a-1)(1-b)>=0
=>(a^2-1)(b^2-1)<=0 （i)

但|a|<1,|b|<1
=>a^2<1 ， b^2<1
=>(a^2-1)(b^2-1)>0 (ii)

因此(i)(ii)矛盾，假设不成立
因此|a+b/1+ab|<1

Answer 2

证明：只需证明－1<(a+b)/(1+ab)<1.

因为0<|a|<1, 0<|b|<1

所以|ab|<1.

所以1＋ab>0,

用反证法。设（a+b)/(1+ab)>1,

则a+b>1+ab,

a-1>(a-1)b,

因a-1<0,

所以b>1,与假设矛盾！

若(a+b)/(1+ab)<-1,

则a+b<-1-ab

a+1<-(a+1)b.

因a+1>0,

故b<-1.与假设矛盾！

所以－1<(a+b)/(1+ab)<1.

所以|a+b/1+ab|<1