Question

反证法：已知|a|<1,|b|<1.求证|a+b/1+ab|<1

要用反证法！！哪位大侠能帮帮忙啊T___T

Answer 1

证明：反设|(a+b)/(1+ab)|>=1
即|a+b|>=|1+ab|
两边平方有(a+b)^2>=(1+ab)^2
即a^2+2ab+b^2>=1+2ab+(ab)^2
亦即a^2+b^2-(ab)^2-1>=0
即(a^2-1)(1-b^2)>=0
而|a|<1,|b|<1
故a^2-1<0,b^2-1<0
上式显然不成立，故命题得证

Answer 2

若|a+b/1+ab|>=1
则|a+b|>=|1+ab|
两端平方
a^2+b^2+2|ab|>=1+a^2*b^2+2|ab|
得到
a^2+b^2>=1+a^2*b^2
移项
（1-a^2）×（1-b^2）<=0
而由条件，应有
（1-a^2）×（1-b^2）>0
矛盾。

Answer 3

假设：|a+b/1+ab|>1,

则a+b>1+ab,

a-1>(a-1)b,

因a-1<0,

所以b>1,与假设矛盾！

若(a+b)/(1+ab)<-1,

则a+b<-1-ab

a+1<-(a+1)b.

因a+1>0,

故b<-1.与假设矛盾！

所以－1<(a+b)/(1+ab)<1.

所以|a+b/1+ab|<1

Answer 4

欲证明求证：|a+b1+ab|＜1，可利用反证法进行证明．先假设|a+b1+ab|≥1，后经过推理得出与已知矛盾，假设不成立，故推翻假设情况就达到证明原命题成立目的．
解答：证明：假设|a+b1+ab|≥1，那么|a+b|≥|1+ab|，
∴（a+b）2≥（1+ab）2，
即1+a2b2-a2-b2≤0．∴（1-a2）（1-b2）≤0．
∴1-a2≥01-b2≤0或1-a2≤01-b2≥0，
解得|a|≤1且|b|≥1或|a≥1且|b|≤1，均与已知矛盾，∴假设不成立，原命题成立．