Question

数学高手进来回答

如何证明可以构造一个数列a1,a2.......an，（a1,a2.........an均为完全平方数），使得其中任意前k项之和均为完全平方数。命题好像是这样的，如果不成立，也请给出不成立的证明。谢谢啦。

Answer 1

数列：1³，2³，3³，4³，…，n³，
通项公式为an=n³，n∈N*.
前n项的和Sn=[n(n+1)/2]²，n∈N*.

∵n，n+1是连续正整数，n(n+1)必为2的倍数，
∴n(n+1)/2是正整数，即Sn是一个完全平方数.

证明方法一：利用(k+1)^4=k^4+4k³+6k²+6k+1，k∈N*.
分别令k=1，2，3，4，…，n，得到n个等式，再相加就可求出Sn.
过程中会用到公式：①1+2+3+…+n=n(n+1)/2；
②1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6.

证明方法二：数学归纳法
第一步：验证n=1时等式成立；
第二步：假设n=k （k∈N*）时，等式成立，
那么当n=k+1时，
S（k+1）=Sk+(k+1)³
=[k(k+1)/2]²+ (k+1)³
=(k+1)²[ （k²/4）+(k+1)]
= (k+1)²(k²+4k+4)/4
=[(k+1)(k+2)/2]²

Answer 2

这个是不成立的，举例就知道这个到底构造起来有多难！可以尝试用数学归纳法！假设前K项成立，然后证明K+1项能够找到，并且成立，那么就对了！

Answer 3

菜鸟表示不会…

Answer 4

a1=3^2 S1=3^2
a2=4^2 S2=5^2
a3=12^2 S3=13^2
a4=84^2 S4=85^2
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