Question

用有限覆盖定理证明聚点定理

Answer 1

有限覆盖定理，简言之就是指闭区间的无限开覆盖，可以削弱为有限开覆盖。聚点定理则是指有界无穷点集必有聚点。

若[-M,M]中任何点都不是S的聚点，则对每一个x∈[-M,M]，【如果在这个闭区间上任何点都不是S的聚点，这是反证法应用的开始。要证明这么说是错误的。】

必存在相应的δx>0，使得U(x,δx)内至多有S的有限多个点.【假如上面的说法是正确的，那么这个闭区间上的任何一个点x，必存在对应的一个正数δx，使得U(x,δx)内都至多有S的有限多个点。】

有限覆盖定理概述：

定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]。开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间）。若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。

若H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为S的一个有限（无限）覆盖。

有限覆盖定理是实数定理：1、确界定理。2、单调有界数列必收敛、闭区间套定理。4、聚点定理。5、凝聚定理的逆否命题。用1-5定理证明有限覆盖定理比较简单，用反证法即可以完成。而用有限覆盖定理证明1-5，也要用反证法，但是初学者对如何构造具体的开覆盖是不如上面的直观。