求二元函数f( x, y)的二阶偏导数。?
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郭敦荣回答:
二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数共有四种情况:
(1)∂z²/∂x²=[∂(∂z/∂x)]/ ∂x;
(2)∂z²/∂y ²=[∂(∂z/∂y)]/ ∂y;
(3)∂z²/(∂y ∂x) =[∂(∂z/∂y)]/ ∂x,;
(4)∂z²/(∂x∂y) =[∂(∂z/∂x)]/ ∂y
其中,∂z²/(∂y∂x),∂z²/(∂x∂y)称为函数对x,y的二阶混合偏导数,其求法上面已给出了基本公式,下面举例说明,
设二元函数z=sin(x/y),求∂z²/(∂y∂x),∂z²/(∂x∂y),
解∵∂z/∂x=(1/y)cos(x/y),∂z/∂y=(-x/y²)cos(x/y),
∴∂z²/(∂y∂x) =[∂(∂z/∂y)]/ ∂x=(-1/y²)cos(x/y)+(x/y^3)sin(x/y)。
∂z²/(∂x∂y) =[∂(∂z/∂x)]/ ∂y=(-1/y²)cos(x/y)+(x/y^3)sin(x/y)。
二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数共有四种情况:
(1)∂z²/∂x²=[∂(∂z/∂x)]/ ∂x;
(2)∂z²/∂y ²=[∂(∂z/∂y)]/ ∂y;
(3)∂z²/(∂y ∂x) =[∂(∂z/∂y)]/ ∂x,;
(4)∂z²/(∂x∂y) =[∂(∂z/∂x)]/ ∂y
其中,∂z²/(∂y∂x),∂z²/(∂x∂y)称为函数对x,y的二阶混合偏导数,其求法上面已给出了基本公式,下面举例说明,
设二元函数z=sin(x/y),求∂z²/(∂y∂x),∂z²/(∂x∂y),
解∵∂z/∂x=(1/y)cos(x/y),∂z/∂y=(-x/y²)cos(x/y),
∴∂z²/(∂y∂x) =[∂(∂z/∂y)]/ ∂x=(-1/y²)cos(x/y)+(x/y^3)sin(x/y)。
∂z²/(∂x∂y) =[∂(∂z/∂x)]/ ∂y=(-1/y²)cos(x/y)+(x/y^3)sin(x/y)。
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