Question

抛物线Y^2=2PX中过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,求AF分之一加BF分之一的值

答案貌似和P有关。
忘给出详细解释~~~~

Answer 1

设抛物线y²=2px(p>0)，焦点坐标为F（p/2，0），A(x1，y1)，B(x2，y2)，
过点F的直线方程为x=my+(p/2)，
代入y²=2px，得y²=2pmy-p²=0，∴y1y2= -p²，
x1x2=(y1²/2p) (y2²/2p)=p²/4.

由抛物线的定义可知，AF=x1+(p/2)，BF=x2+(p/2)，
∴1/AF+1/BF
=1/[ x1+(p/2)]+1/[ x2+(p/2)]
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+(p²/4)] （通分化简）
将x1x2= p²/4，x1+x2=AB-p，代入上式，得
1/AF+1/BF=AB/[（p²/4）+p(AB-p)/2+(p²/4)]=2/p，
即1/AF+1/BF=2/p.

Answer 2

解：可设点A(2pa²,2pa),B(2pb²,2pb).(a≠b)又F(p/2,0).由A,F,B三点共线，可得ab=-1/4.又由抛物线定义知，|AF|=2pa²+(p/2).|BF|=2pb²+(p/2).∴(1/|AF|)+(1/|BF|)=[1/(2pa²+(p/2))]+[1/(2pb²+(p/2))]=(2/p)[1/(4a²+1)+1/(4b²+1)]=(2/p)[(4a²+4b²+2)/(16a²b²+4a²+4b²+1)]=(2/p)[(4a²+4b²+2)/(4a²+4b²+2)]=2/p.