Question

为什么sin²(α-β)=(cosα-cosβ)²？

Answer 1

sin²(α-β) = (sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β))²
接下来，我们使用cos²(θ) + sin²(θ) = 1以及(cos(θ) - sin(θ))² = cos²(θ) + sin²(θ) - 2cos(θ)sin(θ)这两个三角恒等式进行推导。
将上式展开并化简得：
sin²(α-β) = sin²(α)cos²(β) - 2sin(α)cos(α)sin(β)cos(β) + cos²(α)sin²(β)
再使用cos²(θ) + sin²(θ) = 1将式子中的sin²(α)和cos²(α)替换掉，得：
sin²(α-β) = (1-cos²(α))(cos²(β) - 2sin(α)cos(α)sin(β)cos(β) + (1-sin²(β))cos²(α))
再将cos²(β)和cos²(α)提取出来，得：
sin²(α-β) = cos²(β)(1-sin²(α)) + cos²(α)(1-sin²(β)) - 2sin(α)cos(α)sin(β)cos(β)
将1-sin²(α)和1-sin²(β)替换成cos²(α)和cos²(β)，得：
sin²(α-β) = cos²(β)cos²(α) + sin²(β)sin²(α) - 2sin(α)cos(α)sin(β)cos(β)
接着使用cos²(θ) + sin²(θ) = 1将cos²(α)和sin²(α)替换掉，得：
sin²(α-β) = (cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))²
最后使用cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) = cos(α-β)化简，得到：
sin²(α-β) = (cos(α) - cos(β))²
因此，sin²(α-β) = (cos(α) - cos(β))²。