Question

设函数f(x)=ax平方+bx+1(a,b为实数) F(x)={f(x),x>0 -f(x),x<0} (1)若f(-1)=0,f(1)=4,求F(x)的表达式 （2

在（1）的条件下，当x属于【-2，2】时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围
（3）设m>0,n<0 且m+n>0 a>0,f(x）为偶函数，求证F(m)+F(n)>0

Answer 1

（1）由题意，当x>0时，F(x)=f(x)=ax²+bx+1，∴F(1)=a+b+1=4，即a+b=3；
当x<0时，F(x)= -f(x)= -ax²-bx-1，∴F(-1)=a-b+1=0，即a-b= -1，
∴a=1，b=2，代入F（x）即可.
（2）(k-2)/2≤0且-(k+2)/2≥0；
（3）m>0，n<0，m+n>0
f(x)为偶函数，b=0
当x>0时，F(x)=x²+1，当x<0时，F(x)= -x²-1
F(m)+F(n)=m²+1-n²-1=m²-n²=(m+n)(m-n)>0