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二次根式新题型
近几年的中考数学试题围绕二次根式出现了许多重素质、考能力的新颖题型，归纳起来，主要有以下几种。
一. 开放求值题
例1. 请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。
解：原式
当 时，原式 ；
当 时，原式 。
评注：将一道常规的条件求值题，稍加改编，成为开放求值题，其意境截然不同，可贵之处不但在于从更高层次上考查了学生缜密思考（改编的同时，暗设陷阱 ）、灵活运用知识的能力，而且体现了人文关爱，利于激发兴趣，缓解考试压力。
二. 计算器操作探索题
例2. 用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数： ， 。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选___________个数。
解析：由于各数据的分母依次增大，故这组数据依次减小，根据题意可选前面数值较大的数据求和。由计算器可求得：
。
至少要选5个数，故填5。
例3. 借助于计算器可以求得 ， ， 仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 __________。
解析： ，
观察以上各式，易发现等式左端被开方数各加数的幂底数位数与等式右端的数的位数相同，于是可猜想：
评注：养成正确使用计算器的习惯，能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题，是国家数学课程标准和数学大纲的要求。从上述两例中可看到，由于使用了计算器，避免了繁冗、重复的运算过程，大大提高了解题效率，计算器进课堂、进考场是时代的要求，学习的需要，应引起高度重视。
三. 读图计算题
例4. 在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽，它的主体图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形 是等腰直角三角形，且 ，请你先把图中其他8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。
解析：观察图形可知，待求线段既是前一个直角三角形的斜边，又是后一个直角三角形的直角边，因而利用勾股定理可求出各线段的长依次为 、 ，它们的积为 。
评注：解这类题的关键是结合题设读懂图，从图中获取信息，借助数形结合，就能迅速、正确地找到解题途径。
四. 阅读判断题
例5. 化简 时，甲的解法是：
；
乙的解法是：
以下判断正确的是（ ）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
解析：正确答案应为C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解约分法，虽然两人的思路不同，解法各异，但最后殊途同归。
例6. 对于题目“化简并求值： ，其中 ”，甲、乙两人的解答不同，
甲的解答是：
乙的解答是：
谁的解答是错误的？为什么？
解析：解答此题的关键是对于式子 脱去根号后，得到 ，还是 。这就必须要明确 是正还是负。
故乙的解答是错误的。
评注：这两道题格调清新，考查面宽广，从分母有理化、二次根式的性质、二次根式的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。解答时要慎重思考，仔细甄别。这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。
六. 归纳、猜想题
例7. 观察下列各式：
你能得出怎样的结论？并给出证明。
解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为（ ）
证明：
评注：归纳、猜想题，常常是从简单情形入手，通过对若干特例的观察、分析，从中类比、归纳，发现其中的规律，进而猜想出具有一般规律的结论，并对结论的正确性给予验证或证明。
七. 阅读理解题
例8. 观察下列分母有理化的运算：
利用上面的规律计算：
__________。
解析：要计算的式子有两个因式，第一个因式可根据题中给出的规律求得
例9. 阅读下面的问题及解答：
问题：化简
解：设
则
原式
从上面的解答可以看出，一个很复杂的根式，化简的结果却是个简单的有理数，做完这道习题后，现在请你当一回老师，编四个类似的二次根式的化简题，要求满足以下两个条件：
（1）题目是由 这三个无理数（或是其中两个）经过各种运算组成的（每题要包含加、减、乘、除、乘方几种运算中的一种或几种运算，如 等，在你编出的四道题中，不能漏掉了五种运算中的某一种运算）。
（2）化简的结果是一个有理数。
解析：阅读材料介绍了解决本题的一个方法——构造共轭因式。因此，利用共轭因式的积、商、平方或结合其他手段来尝试编拟符合条件的二次根式化简题，如：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
；
（7）
评注：阅读理解题取材广泛，是考查学生基础知识及其综合素质的热门题型。它一般由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容。根据阅读内容、考查目标的不同，又可分为许多题型。例8、例9都属于知识性阅读题，即通过阅读给出的材料，理解并掌握方法，进而应用方法解答题中设置的问题。这类题对学生的阅读理解能力、自学能力、创新应用能力等都有较高的要求。
近几年的中考数学试题围绕二次根式出现了许多重素质、考能力的新颖题型，归纳起来，主要有以下几种。
一. 开放求值题
例1. 请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。
解：原式
当 时，原式 ；
当 时，原式 。
评注：将一道常规的条件求值题，稍加改编，成为开放求值题，其意境截然不同，可贵之处不但在于从更高层次上考查了学生缜密思考（改编的同时，暗设陷阱 ）、灵活运用知识的能力，而且体现了人文关爱，利于激发兴趣，缓解考试压力。
二. 计算器操作探索题
例2. 用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数： ， 。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选___________个数。
解析：由于各数据的分母依次增大，故这组数据依次减小，根据题意可选前面数值较大的数据求和。由计算器可求得：
。
至少要选5个数，故填5。
例3. 借助于计算器可以求得 ， ， 仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 __________。
解析： ，
观察以上各式，易发现等式左端被开方数各加数的幂底数位数与等式右端的数的位数相同，于是可猜想：
评注：养成正确使用计算器的习惯，能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题，是国家数学课程标准和数学大纲的要求。从上述两例中可看到，由于使用了计算器，避免了繁冗、重复的运算过程，大大提高了解题效率，计算器进课堂、进考场是时代的要求，学习的需要，应引起高度重视。
三. 读图计算题
例4. 在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽，它的主体图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形 是等腰直角三角形，且 ，请你先把图中其他8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。
解析：观察图形可知，待求线段既是前一个直角三角形的斜边，又是后一个直角三角形的直角边，因而利用勾股定理可求出各线段的长依次为 、 ，它们的积为 。
评注：解这类题的关键是结合题设读懂图，从图中获取信息，借助数形结合，就能迅速、正确地找到解题途径。
四. 阅读判断题
例5. 化简 时，甲的解法是：
；
乙的解法是：
以下判断正确的是（ ）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
解析：正确答案应为C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解约分法，虽然两人的思路不同，解法各异，但最后殊途同归。
例6. 对于题目“化简并求值： ，其中 ”，甲、乙两人的解答不同，
甲的解答是：
乙的解答是：
谁的解答是错误的？为什么？
解析：解答此题的关键是对于式子 脱去根号后，得到 ，还是 。这就必须要明确 是正还是负。
故乙的解答是错误的。
评注：这两道题格调清新，考查面宽广，从分母有理化、二次根式的性质、二次根式的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。解答时要慎重思考，仔细甄别。这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。
六. 归纳、猜想题
例7. 观察下列各式：
你能得出怎样的结论？并给出证明。
解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为（ ）
证明：
评注：归纳、猜想题，常常是从简单情形入手，通过对若干特例的观察、分析，从中类比、归纳，发现其中的规律，进而猜想出具有一般规律的结论，并对结论的正确性给予验证或证明。
七. 阅读理解题
例8. 观察下列分母有理化的运算：
利用上面的规律计算：
__________。
解析：要计算的式子有两个因式，第一个因式可根据题中给出的规律求得
例9. 阅读下面的问题及解答：
问题：化简
解：设
则
原式
从上面的解答可以看出，一个很复杂的根式，化简的结果却是个简单的有理数，做完这道习题后，现在请你当一回老师，编四个类似的二次根式的化简题，要求满足以下两个条件：
（1）题目是由 这三个无理数（或是其中两个）经过各种运算组成的（每题要包含加、减、乘、除、乘方几种运算中的一种或几种运算，如 等，在你编出的四道题中，不能漏掉了五种运算中的某一种运算）。
（2）化简的结果是一个有理数。
解析：阅读材料介绍了解决本题的一个方法——构造共轭因式。因此，利用共轭因式的积、商、平方或结合其他手段来尝试编拟符合条件的二次根式化简题，如：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
；
（7）
评注：阅读理解题取材广泛，是考查学生基础知识及其综合素质的热门题型。它一般由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容。根据阅读内容、考查目标的不同，又可分为许多题型。例8、例9都属于知识性阅读题，即通过阅读给出的材料，理解并掌握方法，进而应用方法解答题中设置的问题。这类题对学生的阅读理解能力、自学能力、创新应用能力等都有较高的要求。
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